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PolarisationEquations de Maxwell microscopiquesMaxwell a historiquement commencé à écrire ses célèbres équations sous la forme microscopique. Ce set d'équations est principalement adapté à la situation dans le vide. Il n'y a pas de notion de polarisation, aimantation, champ magnétique et induction électrique. Seules les grandeurs physiques suivantes sont utilisées:
Attention: ne pas confondre Farad et Faraday; la première est une unité de capacité alors que la deuxième est une unité de charge électrique (1 Faraday = 96500 C = Constante d'Avogadro 6.0 10-23 [mol-1] x la charge électrique 1.6 10-19 [C]). Les équations de Maxwell microscopiques ont l'allure suivante:
Pour décrire ce qui se passe dans la matière Maxwell a
effectué
la démarche suivante: On se rend compte que dans la matière il y a une sérieuse difficulté à évaluer le champ électrique à l'endroit où se trouvent les charges électriques. En utilisant la fonction de Dirac, la densité de charge dans la matière est donnée par: (x) = qi ( x - xi ) Développement limité du champ électriqueDans la pratique, en présence de matière, on s'intéresse surtout aux grandeurs mesurées à l'extérieur de la matière (l'intérieur étant "inaccessible"). En d'autres termes cela veut dire que l'on veut connaître les champs électromagnétique dans des zones éloignées des charges et des courants qui les génèrent.Cela implique que l'on va pouvoir effectuer des développements limités des champs autour d'une position moyenne. De là va sortir un terme d'ordre zéro, un terme dipolaire, un terme quadrupolaire, etc. On remarque que plus l'éloignement du point d'observation est important, plus les termes d'ordres élevés sont négligeables. Le champ électrique produit par un ensemble de charge se calcule à partir de la somme des champs de chaque charge, qui est le champ de Coulomb de la charge qi en xo. En repérant la position des charges qi par un vecteur i dont l'origine xo est choisie dans la région de l'espace où se trouvent les charges ri = ro-i Développons 1/ri en série de puissance qui peut être écrit à l'aide des polynômes de Legendre sous la forme Pour obtenir l'expression du champ électrique, il suffit d'élever à la puissance 3 cette expression et de n'en retenir que les termes d'ordres inférieurs. et en ordonnant les termes de même degré Le premier terme d'ordre zéro est donné par: Cette expression correspond au champ observé en x et créé par toutes les charges du volume o concentrées en xo. Bien entendu les charges + et les charges - en nombre équivalent se neutralisent et leur champ E est nul. Le calcul du terme d'ordre suivant qui est le terme dipolaire, il vient que En définissant le moment dipolaire de cet ensemble de charge par on peut simplifier l'expression et il vient que Cette contribution peut être schématisée par le graphique suivant qui montre que si x n'est pas trop éloigné des charges, le champ des charges positives n'a pas exactement la même intensité que celui des charges négatives; d'où cette contribution dipolaire. On observe que se terme décroît en 1 sur r3, donc très rapidement avec la distance séparant le point d'observation avec les charges. Le terme quadratique du développement, appelé moment quadrupolaire peut être négligé la plupart du temps. Il décroît encore plus rapidement que les termes précédents en 1 sur r5. Attention: ne pas oublier de considérer ces termes de d'ordre supérieur si l'on veut estimer les grandeurs physiques à proximité immédiate des charges. Equations de Maxwell macroscopiquesPour simplifier les équations on passe aux équations de Maxwell macroscopiques en ne considérant plus les charges et les courants de manière individuelle, mais en prenant la moyenne des grandeurs physiques microscopiques dans un petit volume o. Il est relativement facile de montrer que la moyenne dans ce volume de : B moyen = B E moyen = E où B et E sont l'induction magnétique et le champ électrique au sens macroscopique.En définissant le moment magnétique ampérien tout comme l'on avait défini le moment dipolaire électrique par
on peut introduire les grandeurs suivantes:
Le calcul de la densité de charge moyenne et du de la densité de courant moyen dans le volume o donne: moyen = - div P + j moyen = j + rot M + dP/dt est la densité de charge au sens macroscopique de Maxwell. Il s'agit de la densitlé des charges isolées.j est la densité de courant au sens macroscopique. On remplace les courants microscopiques à l'intérieur d'un matériau par une aimantation M et une variation de polarisation P et les charges microscopiques à l'intérieur du matériau par une polarisation P. "Grâce au théorème de Green", pour modéliser un diélectrique ou un aimant, on utilise soit la notion de polarisation, soit les densités de charge de volume ou de surface. Il s'agit de 2 manières de représenter la même chose.La densité de charges liées ' = - div P La densité de charges liées de surface ' = P n Pour le cas magnétique, on trouve de manière analogue mag = - div I mag = I n La lecture des
équations montre que les charges de polarisation se trouvent où il y a
des variations de polarisation. En d'autres termes elles se trouvent
principalement aux frontières géométriques des matériaux. Cela veut
aussi dire que le champ électrique induit par cette polarisation va
dépendre de la forme du matériaux. On étudiera ce problème avec l'étude
du champ dépolarisant Ed. On définit ensuite Induction électrique D [C/m2] Champ magnétique H [A/m] ce qui conduit à div D = div B = 0 rot E = - dB/dt rot H = j + dD/dt où D = o E + P B = o (H + M) qui sont les équations phénomènologiques de Maxwell. Elles s'écrivent encore D = E = o r E B = H = o r H Définition du dipôle électriquep le dipôle électrique est défini par p = q d où d est la distance séparant la charge négative de la positive. La valeur absolue de ces deux charges vaut q. L'origine de ces dipôles peut être due soit soit polarisation électronique, ionique, moléculaire ou/et interfaciale (voir le chapitre sur les propriétés diélectriques pour une explication complète). Définition du dipôle magnétiqueLe moment magnétique ampérien mA est dû au spin électronique S et moment cinétique orbital L des électrons des atomes et à la variation des dipôles électriques dp/dt mA = i S ( S surface ) (voir le chapitre sur les propriétés magnétiques pour une explication complète). En affirmant qu'à ce jour "on n'a pas été capable d'isoler la charge magnétique", plutôt que de dire que "la charge manétique n'existe pas", on peut se permettre d'introduire le modèle dipolaire du moment magnétique. La condition essentielle est de postuler que dans le système considéré, la charge magnétique globale est nulle. m = 0 Dans ces conditions le moment magnétique dipolaire md est défini par analogie avec le dipôle électrique par: md = m d où m est la charge magnétique en [Wb] La densité de charge magnétique est donnée par mag= dm/dV en [Wb/m3]
La relation entre les deux moments magnétiques ainsi défini est md = o mA
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